CINEMÁTICA DE LOS SOLIDOS: Condición de rigidez.

Condición geométrica.

Matemáticamente, un sólido rígido se caracteriza por ser un sistema de partículas tal que la distancia entre cada par de partículas que lo componen permanece constante en cada momento.

$\left|\vec{r}_i-\vec{r}_k\right|=d_{ik}=\mathrm{cte}$

Esta es la condición geométrica de rigidez. Si empleamos letras para indicar las posiciones de cada partícula, esta condición se expresa.

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=d_{AB}=\mathrm{cte}$

Puesto que se aplica a cada par de partículas supone N(N − 1) / 2 vínculos geométricos (tantos como el número de pares de partículas), si bien muchos de ellos son redundantes en cuanto a que son consecuencia unos de otros.

Condición cinemática.

Cada vínculo geométrico lleva asociado un vínculo cinemático, que establece una relación entre las velocidades posibles. Obtenemos estos vínculos derivando en la expresión de los vínculos geométricos.

Elevando al cuadrado

$\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=d_{ik}^2 =\mathrm{cte}$

y derivando esta expresión respecto al tiempo obtenemos la condición sobre las velocidades.

$0 = 2\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}\vec{r}_k}{\mathrm{d}t}\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=2\left(\vec{v}_i-\vec{v}_k\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)$

Esta es la condición cinemática de rigidez, que podemos escribir

$\vec{v}_i\cdot(\vec{r}_i-\vec{r}_k) = \vec{v}_k\cdot(\vec{r}_i-\vec{r}_k)$

o, empleando letras, para cada par de puntos del sólido

$\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}$

Dividiendo por la distancia entre las partículas A y B

$\vec{v}^A\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\vec{v}^B\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$

siendo cada miembro la proyección de la velocidad en la dirección del vector $\overrightarrow{AB}$

$\mathrm{proy}_{\parallel\overrightarrow{AB}}(\vec{v}^A)=\mathrm{proy}_{\parallel\overrightarrow{AB}}(\vec{v}^B)$

La condición cinemática de rigidez implica que, dadas dos partículas, A y B, la proyección de sus respectivas velocidades sobre la recta que las une es la misma. Por ello se dice que el campo de velocidades es equiproyectivo.

El que las dos proyecciones sean iguales quiere decir que la componente de las velocidades en esa dirección es la misma; las dos partículas avanzan o retroceden a lo largo de esa línea en igual medida, manteniendo su distancia relativa.

Otra forma de verlo es considerar que $\vec{v}^B-\vec{v}^A$ es la velocidad de la partícula B respecto a la A

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{AB})=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{OB})-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{OA}) = \vec{v}^B-\vec{v}^A$

y por tanto

$(\vec{v}^B-\vec{v}^A)\cdot\overrightarrow{AB} = 0$

nos dice que la velocidad relativa de una partícula respecto a otra o es nula o es perpendicular a la recta que las une. Si nos montamos en una partícula del sólido y desde allí observamos a otra partícula cualquiera del mismo sólido, veremos que la otra partícula ni se acerca ni se aleja: o se mantiene en reposo o gira alrededor de nosotros moviéndose sobre una superficie esférica en cuyo centro nos hallamos.

CINEMÁTICA DE LOS SOLIDOS

jueves, 6 de diciembre de 2012

Condición de rigidez.

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